Introduction

Maintenant, examinons ensemble l’information sur l’estimation de la population dans le diagramme de dispersion pour voir s’il y a un schéma et s’il paraît linéaire.

Remarque que l’échelle de la population a été convertie en notation scientifique. Pour te rafraîchie la mémoire, la notation scientifique est destinée à utiliser les formes décimales pour les nombres extrêmement petits ou grands.

La notation scientifique exprime aussi les grands nombres sous la forme d’un nombre entre 1 et 10 et multipliés par une puissance de 10. Par exemple, 12 661 556 peut être exprimé 1,2661566 x 10⁷.

En examinant le diagramme de dispersion, tu peux aussi dessiner une droite de meilleur ajustement et même trouver l’équation. Une droite de meilleur ajustement est exactement ce que tu crois! Il s’agit d’une ligne qui représente le mieux tout type de données basées sur un diagramme de dispersion. Perfectionnons notre savoir-faire en la matière en comprenant comment identifier la meilleure droite de meilleur ajustement!

Examinons deux autres exemples. Selon toi, quel est le meilleur ajustement?

Lorsque tu analyses les exemples, tu dois aussi regarder si la croissance démographique est exponentielle. Peut-être qu’il vaudrait mieux utiliser une équation exponentielle plutôt qu’une droite. Il est difficile de dire laquelle des deux possibilités est la meilleure lorsqu’on les regarde.

REMARQUE : Les graphiques ont été dessinés dans Desmos à l’aide des formules de régression $y_1\sim m{x}_1+b$ et $y_1\sim a{b}^{x_1}$.

Les mathématiciens se sont penchés sur la même question. Ils ont mis au point une procédure appelée régression qui non seulement trouve la formule, mais qui détermine aussi le meilleur type de fonction.

La dernière unité de ce cours aborde la manière de trouver ces formules pour représenter les tendances et décider laquelle est la meilleure. Nous reviendrons sur la régression et ce problème à la fin de ce cours pour trouver quelle formule est la meilleure.

Lois des exposants

Puisque tu as maintenant l’expertise de la section Mise en situation sur les diagrammes de dispersion, examinons maintenant les lois des exposants.

Les lois des exposants sont des « raccourcis » algébriques basés sur des schémas que l’on voit souvent lorsque l’on travaille avec des puissances. Tu peux être familier avec les lois des exposants, mais revoyons-les encore pour se rafraîchir la mémoire et passons en revue quelques exemples.

$x^a\times x^b=x^{a+b}$

$x^a÷x^b=x^{a-b}$

${\left(x^a\right)}^b=x^{ab}$

${\left(xy\right)}^a=x^a{y}^a$

${\left(\frac{x}{y}\right)}^a=\frac{x^a}{y^a}$

$x^0=1\hspace{1em}\left(x\ne 0\right)$

$x^{-a}=\frac{1}{x^a}\hspace{1em}\left(x\ne 0\right)$

${\left(\frac{x}{y}\right)}^{-a}={\left(\frac{y}{x}\right)}^a$

Maintenant que tu as renforcé tes connaissances sur les lois des exposants, quelle sélection exprimerait le mieux ta compréhension des lois des exposants? N’oublie pas, il est parfaitement correct de sélectionner faible, correcte, bonne ou excellente puisque vous apprendrez tous à devenir des experts du monde des lois des exposants!

D’accord ou pas d’accord?

Faible	Correcte	Bonne	Excellent.
1	2	1	2

Les exposants rationnels

Il est temps de passer au niveau suivant et d’apprendre sur les exposants avec des valeurs rationnelles! Puisque nous avons vu les informations sur les exposants ayant des valeurs entières, passons maintenant au niveau d’apprentissage suivant qui est...

Les exposants comme fractions!

Les fractions sont utilisées pour exprimer des nombres radicaux. Par exemple, l’exposant de $\frac{1}{2}$ suppose que tu cherches la racine carrée de la base.

Exemple :

Évalue ${\left(25\right)}^{\frac{1}{2}}$.

${\left(25\right)}^{\frac{1}{2}}$ te demande de chercher $\sqrt{25}$ qui est $\pm 5$.

Donc, ${\left(25\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=\pm 5$.

Évaluer les expressions exponentielles par rapport à simplifier les expressions exponentielles

Parfois, on te demande d’évaluer une expression et parfois on te demande de la simplifier.

Quelle est la différence entre évaluer et simplifier une expression? Nous allons le découvrir!

Ressemblances :

Les deux simplifient l’expression à l’aide des lois des exposants.

Différences

Les questions d’évaluation portent sur des valeurs précises et peuvent calculer la réponse exacte.

Exemple

Une menuisière crée des tables rectangulaires. Le patron avec lequel elle travaille a une longueur de table équivalente au double de la largeur.

Le coût de construction de chaque table dépend en partie de la surface du dessus. Amy crée une ébauche du patron et détermine une formule pour la surface du dessus de la table.

Un menuisier sait que l’aire d’un rectangle se calcule en multipliant la longueur par la largeur.

$A=w\times 2w$

Le menuisier simplifie le côté droit de l’équation :

$A=2w^2$

Un client souhaite avoir une table large de 50 cm. Le menuisier utilise sa formule pour trouver la surface de la table :

$A=2{\left(50\right)}^2$

$A=5000$

Le menuisier a évalué $2{\left(50\right)}^2$ et a déterminé que la surface du dessus de la table est $5000$cm².

Exemple

Évalue $\frac{\left(2^3\right)\left(2^5\right)}{\left(2^4\right)\left(2^2\right)}$

$\frac{\left(2^3\right)\left(2^5\right)}{\left(2^4\right)\left(2^2\right)}=\frac{2^{3+5}}{2^{4+2}}=\frac{2^8}{2^6}=2^{8-6}=2^2=4$

Exemple

Simplifie $\frac{x^3{x}^5}{x^4{x}^2}$

$\frac{x^3{x}^5}{x^4{x}^2}=\frac{x^{3+5}}{x^{4+2}}=\frac{x^8}{x^6}=x^{8-6}=x^2$

Quelquefois, lorsque l’on évalue une expression, il est plus efficace de simplifier puis de substituer la valeur donnée. Examinons la même expression si $x=2$.

Exemple

Simplifie $\frac{x^3{x}^5}{x^4{x}^2}$ et ensuite évalue si $x=2$.

Simplifie : $\frac{x^3{x}^5}{x^4{x}^2}=\frac{x^{3+5}}{x^{4+2}}=\frac{x^8}{x^6}=x^{8-6}=x^2$

Calcule la valeur de : $x^2=(2{)}^2=4$

Équations exponentielles

Les questions d’équation exponentielle auront toujours des signes égaux puisqu’elles sont en fait des équations. Résoudre ces équations signifie que tu trouves les valeurs de x qui répondent aux conditions de l’équation.

Mises en application

Comme nous avons examiné la croissance démographique au début de cette leçon, examinons-la plus en profondeur afin de comprendre la population dans le monde de la croissance exponentielle.

Qu’il s’agisse de la croissance de la population de lapins dans une forêt, ou celle de bactéries dans une boîte de Petri, ces populations augmenteront généralement à un rythme exponentiel. Ce type de croissance assume qu’il n’y a aucun facteur limitant, comme l’habitat ou des limitations alimentaires, ni d’autres limites comme les prédateurs et les migrations de masse.

Lois des exposants

$x^a\times x^b=x^{a+b}$

$x^a÷x^b=x^{a-b}$

${\left(x^a\right)}^b=x^{ab}$

$x^a÷x^b=x^{a-b}$

${\left(x^a\right)}^b=x^{ab}$

${\left(xy\right)}^a=x^a{y}^a$

${\left(\frac{x}{y}\right)}^a=\frac{x^a}{y^a}$

$x^0=1\hspace{1em}\left(x\ne 0\right)$

Vérifie ta compréhension

Voici quelques questions pour t’exercer sur papier. Lorsque tu es prêt, les réponses et les solutions sont disponibles pour comparer tes réponses. Examine les solutions pour t’assurer d’avoir le bon format de réponse. Ces questions seront semblables à celles de l’évaluation à la fin de cette unité.

Conclusion

Prochaines étapes

Faisons le plein d’énergie! À venir, dans l’activité d’apprentissage 2, nous apprendrons à interpréter les graphiques et à utiliser les modèles graphiques. Restez à l’affût pour voir comment les graphiques peuvent vraiment t’aider dans la réalité!

Dans l’activité d’apprentissage 2, tu apprendras à interpréter les graphiques et à utiliser les modèles graphiques.