Mise en situation

Introduction

Dans le merveilleux monde où nous vivons, les populations varient toujours d’une ville à l’autre, d’une province à l’autre et d’un pays à l’autre. Toi aussi tu peux devenir un expert et comprendre l’évolution de la population. Commençons par examiner un tableau de l’estimation de la population de la province de l’Ontario de 2006 à 2016.

T’es-tu déjà demandé s’il existait un moyen de modéliser et de prédire la croissance démographique?

Voici un graphique de l’estimation de la population de 2006 à 2016.

Photo d’un petit chien avec des lunettes qui prend une pose de comptable avec un clavier, un crayon et de l’argent.

Maintenant, examinons ensemble l’information sur l’estimation de la population dans le diagramme de dispersion pour voir s’il y a un schéma et s’il paraît linéaire.

Remarque que l’échelle de la population a été convertie en notation scientifique. Pour te rafraîchie la mémoire, la notation scientifique est destinée à utiliser les formes décimales pour les nombres extrêmement petits ou grands.

La notation scientifique exprime aussi les grands nombres sous la forme d’un nombre entre 1 et 10 et multipliés par une puissance de 10. Par exemple, 12 661 556 peut être exprimé 1,2661566 x 107.

En examinant le diagramme de dispersion, tu peux aussi dessiner une droite de meilleur ajustement et même trouver l’équation. Une droite de meilleur ajustement est exactement ce que tu crois! Il s’agit d’une ligne qui représente le mieux tout type de données basées sur un diagramme de dispersion. Perfectionnons notre savoir-faire en la matière en comprenant comment identifier la meilleure droite de meilleur ajustement!

Examinons deux autres exemples. Selon toi, quel est le meilleur ajustement?

Lorsque tu analyses les exemples, tu dois aussi regarder si la croissance démographique est exponentielle. Peut-être qu’il vaudrait mieux utiliser une équation exponentielle plutôt qu’une droite. Il est difficile de dire laquelle des deux possibilités est la meilleure lorsqu’on les regarde.

Droite de meilleur ajustement : y=132198x-2,5257×108

Courbe exponentielle de meilleur ajustement : y=0,243753 1,0089x

REMARQUE : Les graphiques ont été dessinés dans Desmos à l’aide des formules de régression y 1 m x 1 + b et y 1 a b x 1 .

Les mathématiciens se sont penchés sur la même question. Ils ont mis au point une procédure appelée régression qui non seulement trouve la formule, mais qui détermine aussi le meilleur type de fonction.

La dernière unité de ce cours aborde la manière de trouver ces formules pour représenter les tendances et décider laquelle est la meilleure. Nous reviendrons sur la régression et ce problème à la fin de ce cours pour trouver quelle formule est la meilleure.

Action

Lois des exposants

Puisque tu as maintenant l’expertise de la section Mise en situation sur les diagrammes de dispersion, examinons maintenant les lois des exposants.

Les lois des exposants sont des « raccourcis » algébriques basés sur des schémas que l’on voit souvent lorsque l’on travaille avec des puissances. Tu peux être familier avec les lois des exposants, mais revoyons-les encore pour se rafraîchir la mémoire et passons en revue quelques exemples.

x a × x b = x a + b

x a ÷ x b = x a - b

x a b = x a b

x y a = x a y a

x y a = x a y a

x 0 = 1 x 0

x - a = 1 x a x 0

x y - a = y x a

À toi de jouer!

Il est temps maintenant de tester tes aptitudes mathématiques avec les lois des exposants. Essaie de ton mieux et n’oublie pas que les solutions sont disponibles pour comparer tes réponses! N’oublie pas d’examiner les solutions pour perfectionner ton savoir-faire et utiliser le bon format de réponse. Allons-y!

Simplifie les expressions qui suivent.

Maintenant que tu as renforcé tes connaissances sur les lois des exposants, quelle sélection exprimerait le mieux ta compréhension des lois des exposants? N’oublie pas, il est parfaitement correct de sélectionner faible, correcte, bonne ou excellente puisque vous apprendrez tous à devenir des experts du monde des lois des exposants!

D’accord ou pas d’accord?
Faible Correcte Bonne Excellent.

Les exposants rationnels

Photo d’un chat regardant un tableau et posant comme un élève étudiant l’arithmétique. Le dessin au tableau montre 1 poisson + 1 poisson = 2 squelettes de poisson.

Il est temps de passer au niveau suivant et d’apprendre sur les exposants avec des valeurs rationnelles! Puisque nous avons vu les informations sur les exposants ayant des valeurs entières, passons maintenant au niveau d’apprentissage suivant qui est...

Les exposants comme fractions!

Les fractions sont utilisées pour exprimer des nombres radicaux. Par exemple, l’exposant de 1 2 suppose que tu cherches la racine carrée de la base.

Exemple :

Évalue 25 1 2 .

25 1 2 te demande de chercher 25 qui est ± 5.

Donc, 25 1 2 = 25 = ± 5.

Savais-tu que les exposants rationnels peuvent aussi être utilisés pour les racines cubiques? Ce n’est pas tout, voyons ensemble quatre autres règles des exposants rationnels!

x y - a = y x a

x 1 2 = x

x 1 a = x a

x a b = x b a = x a b

Photo d’un chien devant un tableau et posant comme un élève étudiant l’arithmétique. Le dessin au tableau montre 2 os + 2 os = 4 os.

Premier exemple

Résous l’équation suivante.

8 1 3 4

8 1 3 4 = 81 4 3 = 3 3 = 27

D’habitude, le choix privilégié est de trouver d’abord la racine puis l’élever à l’exposant parce que le résultat de la racine est souvent un nombre plus petit et plus familier.

Deuxième exemple

Regarde cette méthode alternative.

8 1 3 4 = 81 3 4 = 531441 4 = 27

Tu remarqueras que certaines réponses sont exactement pareilles.

La première méthode nécessitera moins souvent l’utilisation d’une calculatrice en raison des expressions mathématiques plus simples qui gardent de « petits » nombres

- 81 3 4

- 81 3 4 = - 81 4 3

Savais-tu que tu ne pouvais pas prendre la racine carrée d’un nombre négatif ou la racine quatrième d’un nombre négatif? En fait, tu ne peux jamais prendre un nombre pair d’un nombre négatif. Ce qui nous amène à répondre à la question : « Comment trouves-tu la racine quatrième d’un nombre négatif? »

Surprise! Il est impossible de répondre à la question puisqu’il n’existe pas de réponse réelle.

81 3 4

- 81 3 4 = - 81 4 3 = - 3 3 = - 27

Puisque le négatif était hors de la fourchette, il n’a pas affecté notre capacité de trouver la racine quatrième.

8 1 - 3 4

Cette fois-ci, le négatif est dans l’exposant. La septième loi des exposants x - a = 1 x a x 0 devra être utilisé en plus des lois pour les exposants rationnels.

Puisque l’exposant négatif créera une fraction, il est mieux de le laisser ainsi jusqu’à la fin.

8 1 - 3 4 = 81 4 - 3 = 3 - 3

À ce point-ci de la solution, tu as deux choix.

Tu peux choisir deux étapes : 3 - 3 = 3 3 - 1 = 2 7 - 1 = 1 27 .

Ou tu peux choisir une étape : 3 - 3 = 1 3 3 = 1 27 .

C’est toi qui choisis.

À toi de jouer!

C’est à ton tour de tester tes aptitudes mathématiques. Essaie de ton mieux et n’oublie pas que les solutions sont disponibles pour comparer tes réponses. N’oublie pas d’examiner les solutions pour perfectionner ton savoir-faire et utiliser le bon format de réponse. Allons-y!

Évaluer les expressions exponentielles par rapport à simplifier les expressions exponentielles

Parfois, on te demande d’évaluer une expression et parfois on te demande de la simplifier.

Moment de réflexion : D’après toi, quelle pourrait être la différence entre évaluer et simplifier les expressions exponentielles?

Quelle est la différence entre évaluer et simplifier une expression? Nous allons le découvrir!

Ressemblances :

Les deux simplifient l’expression à l’aide des lois des exposants.

Différences

Les questions d’évaluation portent sur des valeurs précises et peuvent calculer la réponse exacte.

Exemple

Une menuisière crée des tables rectangulaires. Le patron avec lequel elle travaille a une longueur de table équivalente au double de la largeur.

Le coût de construction de chaque table dépend en partie de la surface du dessus. Amy crée une ébauche du patron et détermine une formule pour la surface du dessus de la table.

Diagramme d’un rectangle avec le plus long côté étiqueté 2w et le plus petit étiqueté w.

Un menuisier sait que l’aire d’un rectangle se calcule en multipliant la longueur par la largeur.

A = w × 2 w

Le menuisier simplifie le côté droit de l’équation :

A = 2 w 2

Un client souhaite avoir une table large de 50 cm. Le menuisier utilise sa formule pour trouver la surface de la table :

A = 2 50 2

A = 5000

Le menuisier a évalué 2 50 2 et a déterminé que la surface du dessus de la table est 5000cm².

Exemple

Évalue 2 3 2 5 2 4 2 2

2 3 2 5 2 4 2 2 = 2 3 + 5 2 4 + 2 = 2 8 2 6 = 2 8 - 6 = 2 2 = 4

Exemple

Simplifie x 3 x 5 x 4 x 2

x 3 x 5 x 4 x 2 = x 3 + 5 x 4 + 2 = x 8 x 6 = x 8 - 6 = x 2

Quelquefois, lorsque l’on évalue une expression, il est plus efficace de simplifier puis de substituer la valeur donnée. Examinons la même expression si x = 2.

Exemple

Simplifie x 3 x 5 x 4 x 2 et ensuite évalue si x = 2.

Simplifie : x 3 x 5 x 4 x 2 = x 3 + 5 x 4 + 2 = x 8 x 6 = x 8 - 6 = x 2

Calcule la valeur de : x 2 = ( 2 ) 2 = 4

Équations exponentielles

Les questions impliquent souvent la résolution de problèmes. Comment approcherais-tu la résolution d’équations exponentielles?

Les questions d’équation exponentielle auront toujours des signes égaux puisqu’elles sont en fait des équations. Résoudre ces équations signifie que tu trouves les valeurs de x qui répondent aux conditions de l’équation.

Exemple

Résous les équations suivantes.

Mises en application

Comme nous avons examiné la croissance démographique au début de cette leçon, examinons-la plus en profondeur afin de comprendre la population dans le monde de la croissance exponentielle.

Qu’il s’agisse de la croissance de la population de lapins dans une forêt, ou celle de bactéries dans une boîte de Petri, ces populations augmenteront généralement à un rythme exponentiel. Ce type de croissance assume qu’il n’y a aucun facteur limitant, comme l’habitat ou des limitations alimentaires, ni d’autres limites comme les prédateurs et les migrations de masse.

Photo de 11 chiens différents regardant l’appareil photo.

Exemples

Une population de cellules est étudiée afin de mieux comprendre une maladie. Ce type précis de cellules double chaque jour. Si on estime qu’un échantillon de ces cellules est constitué de 1 000 cellules au départ, la taille de l’échantillon après n jours peut être modélisée à l’aide de l’équation S = 1 000 ( 2 ) n , où S représente la taille de l’échantillon de cellules et n représente le nombre de jours passés. Combien de temps faudra-t-il pour atteindre 512 000 cellules?

Puisque S représente la taille de l’échantillon, S = 512000.

À l’aide de l’équation qui modélise la croissance, nous savons que

512000 = 1 000 ( 2 ) n

Divise par 1000 de chaque côté de l’équation.

512000 1 000 = 1 000 ( 2 ) n 1 000

2 n = 512

Trouve une base commune.

2 n = 2 9

Puisque les bases sont maintenant égales, les exposants aussi doivent être égaux.

n = 9

Donc, la population de cellules atteindra 512 000 en 9 jours.

Consolidation

Lois des exposants

x a × x b = x a + b

x a ÷ x b = x a - b

x a b = x a b

x a ÷ x b = x a - b

x a b = x a b

x y a = x a y a

x y a = x a y a

x 0 = 1 x 0

Vérifie ta compréhension

Voici quelques questions pour t’exercer sur papier. Lorsque tu es prêt, les réponses et les solutions sont disponibles pour comparer tes réponses. Examine les solutions pour t’assurer d’avoir le bon format de réponse. Ces questions seront semblables à celles de l’évaluation à la fin de cette unité.

Conclusion

Félicitations ! Tu as maintenant terminé l’Activité d’apprentissage 1. En ayant travaillé sur tous les exemples... tu te sentiras probablement à l’aise pour :

  • évaluer les puissances avec des exposants rationnels.
  • simplifier des expressions algébriques impliquant des exposants,
  • résoudre des problèmes impliquant des équations exponentielles en utilisant des bases communes.
Photo d’un pingouin en bande dessinée qui saute de joie.

Prochaines étapes

Faisons le plein d’énergie! À venir, dans l’activité d’apprentissage 2, nous apprendrons à interpréter les graphiques et à utiliser les modèles graphiques. Restez à l’affût pour voir comment les graphiques peuvent vraiment t’aider dans la réalité!

Dans l’activité d’apprentissage 2, tu apprendras à interpréter les graphiques et à utiliser les modèles graphiques.

Photo d’un chien pug nageant dans une piscine avec la langue sortie.