En 9e et 10e années, tu as étudié les relations linéaires et quadratiques. Dans ce cours, tu approfondiras ta compréhension en étudiant un groupe de relations appelées fonctions. Tu enrichiras aussi ton vocabulaire mathématique en y incluant de nouvelles manières de décrire les relations, y compris l’indication du domaine et de l’image, qui décrivent où, sur un plan cartésien, tu verras les points du graphique d’une relation. Tu représenteras aussi les relations en utilisant des diagrammes d’application, des graphiques et des tables de valeurs.
Nous allons commencer par définir le terme relation
Après avoir regardé la vidéo, prends quelques minutes pour répondre aux questions suivantes :
- Sans regarder à nouveau la vidéo, te souviens-tu du nombre de manière qu’il y a pour exprimer une relation? Dresse une liste de celles dont tu te souviens.
Il existe 7 manières d’exprimer une relation.
- Liste de couples
- Diagramme d’application
- Tableau
- graphique
- Équation
- Mots
- Règle
- Quelles sont les manières avec lesquelles tu es le plus familier?
De multiples réponses sont possibles.
Réponse courante : Tableau, graphique et équation.
- Quelles sont les manières avec lesquelles tu es le moins familier?
De multiples réponses sont possibles.
Réponse courante : Diagramme d’application
Remarque
Cette activité d’apprentissage t’aidera à mieux comprendre les diverses façons d’exprimer les relations.
- Une relation est une expression qui démontre la connexion (la relation) entre deux variables : une variable indépendante (x) et une variable dépendante (y)
- L’expression peut être sous la forme d’un couple, d’un diagramme d’application, d’une table de valeurs, d’un graphique, d’une équation, d’une description en mots ou d’une règle.
Maintenant, approfondissons notre connaissance des relations en examinant les exemples ci-dessous :
Regarde attentivement les deux exemples de relation. Qu’est-ce qui est semblable? En quoi sont-ils différents?
L’exemple 1 est en mots et l’exemple deux est une table de valeurs. Les deux exemples sont des exemples de relations. Dans la seconde relation, deux tailles (variable dépendante) sont associées à un seul âge (variable indépendante). Par exemple, les tailles de 152 cm et 185 cm sont associées à l’âge de 15 ans.
La différence entre les deux relations nous amène à la définition d’un type spécial de relation que l’on appelle une fonction.
Définition
Une fonction est une relation où chaque valeur de la variable indépendante correspond à seulement une valeur de la variable dépendante (aucune valeur répétée, mais il est acceptable qu’une valeur soit répétée).
Révisons nos deux exemples de relations
En conclusion, une relation peut être davantage classée comme une fonction s’il n’y a qu’une seule valeur de la variable dépendante pour chaque valeur de la variable indépendante.
Une fonction sous la forme d’une équation peut être exprimée à l’aide de ce que nous appelons la notation fonctionnelle.
- Avec la notation fonctionnelle, nous remplaçons par , qu’on lit comme « en » ou « de »
- signifie « la valeur de la variable dépendante pour une valeur précise de »
- Cela signifie que nous exprimons une équation comme une fonction en termes de
- Ce qui signifie que
Prends une minute pour regarder la vidéo ci-dessous pour en apprendre sur l’avantage d’utiliser la notation fonctionnelle :
Maintenant, réexaminons l’exemple 1 et faisons une équation de la fonction, puis exprime-la à l’aide de la notation fonctionnelle
Quelles étapes devrais-je suivre?
Dans l’exemple 2, Mina a noté l’âge et la taille de ses cousins et elle a représenté l’information sous la forme d’un tableau à droite.
Pouvons-nous exprimer cette relation en utilisant la notation fonctionnelle?
Non, la relation ci-dessus n’est pas une fonction, par conséquent, elle ne peut pas être exprimée en utilisant la notation fonctionnelle.
Âge | Taille en centimètres |
---|---|
15 | 152 |
15 | 185 |
16 | 155 |
17 | 170 |
17 | 173 |
18 | 185 |
20 | 161 |
Le domaine et l’image
Les principales caractéristiques de toutes les relations sont le domaine et l’image.
- le domaine est l’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre la variable indépendante
- l’image est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de la variable dépendante
Utilisons nos deux exemples pour nous exercer à indique le domaine et l’image
Exemples
Lorsque l’on te donne un graphique, une manière rapide de déterminer si la relation est une fonction est de faire un test appelé test de la ligne verticale.
Tu t’imagines tracer des lignes verticales n’importe où sur le graphique. Si la relation :
- n’est pas une fonction, la ligne verticale passera sur au moins deux points du graphique de la relation
- est une fonction, la ligne verticale passera sur un seul point du graphique de la relation
Exerçons-nous
Tu peux aussi voir si une relation est une fonction ou non compte tenu de son équation.
- Les relations linéaires avec des formes générales ci-dessous sont des fonctions :
- Forme de pente et ordonnée à l’origine :
- Forme générale : ou
- Les relations quadratiques avec des formes générales ci-dessous sont des fonctions :
- Forme générale :
- Forme canonique :
- Forme factorisée :
- Les cercles avec des formes générales ci-dessous sont des fonctions :
- Centre à l’origine :
- Centre à (a, b) :
Questions d’exercices
Cahier de notes
Réponds aux questions suivantes dans ton cahier de notes. Quand tu auras terminé, compare ton travail aux solutions données. Si tu as fait des erreurs, repère-les, prends des notes les concernant et refais la question sous ton premier ensemble de solutions.
Réflexion personnelle
Dans le cadre de ce cours, tu es une apprenante ou un apprenant autonome. Lis attentivement cette définition d’un apprenant autonome :
Définition
Les apprenantes et les apprenants autonomes connaissent les modes d’apprentissage qui leur conviennent le mieux. Ils ont confiance en eux et savent quand demander du soutien. Les apprenants autonomes se fixent des objectifs et adoptent des plans réalistes pour les atteindre. Autrement dit, ils assument la responsabilité de leur propre apprentissage et s’engagent à cet égard.
En tant qu’apprenante ou apprenant autonome, évalue ta progression en fonction des énoncés ci-dessous :
Maintenant, prends quelques instants pour passer en revue les objectifs d’apprentissage et critères de réussite de cette activité d’apprentissage et y réfléchir.
Comment évaluerais-tu ta compréhension des concepts abordés pendant cette activité d’apprentissage? Choisis l’une de ces quatre réponses.
Activité finale
Une partie de l’évaluation pour ce cours sera sous la forme d’une activité finale, comptant pour 10 % du travail final du cours.
Tout au long de ce cours, tu apprendras sur différents types de fonctions, de transformations et sur le domaine et l’image. Pour l’activité finale, tu utiliseras ces connaissances pour créer un logo ou une image qui informe ou suggère des solutions aux problèmes qui contribuent aux enjeux environnementaux.
Cette activité finale est pour toi une occasion de démontrer ta connaissance des divers types de fonctions et relations ainsi que ta connaissance du domaine et de l’image.
N’oublie pas : Cette activité finale est pour toi une occasion de démontrer ta connaissance des divers types de graphiques ainsi que ta connaissance du domaine et de l’image.
- J’ai trouvé un enjeu environnemental et j’ai créé un logo pour le représenter efficacement en faisant des liens entre les représentations algébriques et graphiques des fonctions.
- J’ai créé le logo sur un papier millimétré en utilisant la forme mathématique correcte, incluant les échelles appropriées et clairement indiquées.
- J’ai décrit en quoi mon logo est relié au problème choisi.
- J’ai utilisé un minimum de quatre différents types de fonctions ou relations dans mon logo.
- J’ai inclus une équation pour chaque fonction qui possède un minimum de trois transformations pour modifier la fonction de base.
- J’ai décrit les trois transformations qui modifiaient la fonction de base.
- J’ai indiqué le domaine et l’image de chaque fonction en utilisant le langage mathématique et la notation appropriés.
- J’ai restreint le domaine ou l’image de manière appropriée pour appuyer la construction du logo.
Grille d’évaluation
Ton enseignant ou enseignante évaluera ton travail à l’aide de la grille d’évaluation suivante. Avant de soumettre ton évaluation, relis la grille d’évaluation pour t’assurer de répondre aux critères de réussite au mieux de tes capacités.