Terrain de baseball d’un stade extérieur avec espace pour du texte –stock photo, ronniechua/iStock/Getty Images Plus

Bienvenue à l’activité Exploration des triangles semblables ! Non seulement la connaissance des triangles semblables constitue une aptitude mathématique essentielle, mais elle comporte aussi plusieurs applications pratiques. Dans la vie courante, ta connaissance des triangles semblables est mise à profit tous les jours lorsque tu analyses l’architecture d’une structure, les ponts ou la longueur des ombres, ou que tu établis l’angle adéquat selon lequel balancer une batte de baseball.

Plusieurs élèves essaient de maîtriser les mathématiques de niveau secondaire en s’efforçant de mémoriser encore et encore. Il y a bien sûr des choses que tu dois mémoriser, comme les tables de multiplication, mais tu auras plus de succès si tu réfléchis à tes apprentissages et que tu établis des liens entre les sujets. Commençons !


Utiliser un journal des mathématiques

Livre ouvert présentant un paysage dessiné à la main – stock photo, ra2studio/iStock/Getty Images Plus

Choisis n’importe quel journal, carnet ou autre livret que tu utiliseras comme journal des mathématiques, et qui t’aidera à réfléchir aux apprentissages que tu feras dans ce cours.

Tu constitueras ton journal des mathématiques tout au long du cours, qui est composé de quatre unités :

Les triangles semblables; la trigonométrie des angles droits et les mesures tridimensionnelles

Les relations et systèmes linéaires

L’algèbre des expressions quadratiques

Les relations quadratiques

Une fois la quatrième unité bouclée, tu devras réaliser la dernière activité (il te faudra peaufiner les quatre premières rubriques de ton journal et en créer quatre nouvelles) et réviser pour l’examen final. Chacune des unités comprend plusieurs activités d’apprentissage.

À la fin de chacune des activités d’apprentissage, on te demandera de créer une rubrique de journal et on te présentera des suggestions et des directives sur le contenu qui devrait s’y trouver. Ces rubriques de journal serviront de résumé pour un grand nombre des concepts les plus importants du cours. Elles te seront utiles quand tu te prépareras aux évaluations de chacune des unités, puis à l’examen final. Voilà pourquoi tu devrais les rédiger de façon à ce qu’elles te soient les plus utiles possible.

N’hésite pas à ajouter au contenu suggéré tout renseignement que tu juges important. Pour ta première rubrique, prends quelques minutes pour trouver un fait intéressant sur la manière dont les triangles semblables s’appliquent à la vie quotidienne! Si tu fais preuve de curiosité dès le début d’une activité d’apprentissage, cela pourrait te motiver et rendre le processus plaisant et utile!

À la fin de ce cours, tu auras l’occasion de peaufiner huit rubriques de ton journal, qui compteront comme ton évaluation finale. Cette évaluation représente 15 % de ta note.

Bureau d’étudiant avec des livres vierges – stock photo

Cette image apparaîtra chaque fois que tu devrais ajouter une rubrique à ton journal. Si tu appuies sur l’image, tu seras dirigé vers l’évaluation finale. Tu pourras alors consulter les exigences de cette évaluation pour t’assurer de demeurer sur la bonne voie.

Tu auras l’occasion de soumettre une rubrique de ton journal en vue d’obtenir de la rétroaction. Tu pourras ensuite décider d’apporter ou non les corrections recommandées dans la rétroaction, et d’ajouter ou non cette rubrique à ton évaluation finale. Si tu conserves "tes rubriques bien organisées, tu auras l'embarras du choix à la fin du cours.

Chacune des huit rubriques de journal que tu soumettras doit comprendre ce qui suit :

  • le titre et la description de la rubrique, y compris les numéros de l’unité et des activités d’apprentissage
  • des « preuves » de l’apprentissage tiré de l’activité (il pourrait s’agir de photos d’exemples traités, d’explications écrites, d’une feuille sommaire, etc.)
  • des preuves du raisonnement mathématique lié à l’apprentissage, comme démontré par l’exemple d’un problème présentant une application de la vie courante, y compris sa solution. Ou encore un modèle qui explique le concept mathématique appliqué. Dans l’exemple de rubrique, cette preuve pourrait être observée dans le diagramme des fractions équivalentes, ou encore dans l’utilisation d’un logiciel de géométrie pour mesurer l’angle d’un garde-corps. Dans ces deux exemples de rubrique, des problèmes de la vie courante sont utilisés pour démontrer le raisonnement

• L’usage correct des conventions mathématiques.

• Une conclusion ou une proposition pour démontrer le raisonnement.

Les rubriques de ton journal des mathématiques peuvent prendre bien des formes. Voici quelques suggestions :

  • Journal manuscrit (numérisé)
  • Journal en ligne
  • Vidéos
  • Images ou photos
  • Enregistrements audio
  • Carte cognitive

Grille d’évaluation

Prends connaissance de la grille d’évaluation ci-dessous pour t’assurer de bien comprendre les lignes directrices de l’évaluation.

Critères de réussite :

  • Démontre sa connaissance des procédures et compétences appropriées et pertinentes.
Niveau 4
(80 à 100 %)
Niveau 3
(70 à 79 %)
Niveau 2
(60 à 69 %)
Niveau 1
(50 à 59 %)
Avec beaucoup d’efficacité Avec efficacité Avec une certaine efficacité Avec une efficacité limitée
  • Illustre sa compréhension du sens du contenu mathématique avec beaucoup d’efficacité.
  • Illustre sa compréhension du sens du contenu mathématique avec efficacité.
  • Illustre sa compréhension du sens du contenu mathématique avec une certaine efficacité.
  • Illustre sa compréhension du sens du contenu mathématique avec une efficacité limitée.
Niveau 4
(80 à 100 %)
Niveau 3
(70 à 79 %)
Niveau 2
(60 à 69 %)
Niveau 1
(50 à 59 %)

Avec beaucoup d’efficacité.

Avec efficacité

Avec une certaine efficacité

Avec une efficacité limitée

Critères de réussite :

  • Présente des preuves que le problème a été modélisé, que des conclusions ont été tirées ou que des raisonnements ont été utilisés pour justifier la démarche.
Niveau 4
(80 à 100 %)
Niveau 3
(70 à 79 %)
Niveau 2
(60 à 69 %)
Niveau 1
(50 à 59 %)
Avec beaucoup d’efficacité Avec efficacité Avec une certaine efficacité Avec une efficacité limitée
  • Démontre une interprétation logique du problème avec beaucoup d’efficacité.
  • Démontre une interprétation logique du problème avec efficacité.
  • Démontre une interprétation logique du problème avec une certaine efficacité.
  • Démontre une interprétation logique du problème avec une efficacité limitée.
Niveau 4
(80 à 100 %)
Niveau 3
(70 à 79 %)
Niveau 2
(60 à 69 %)
Niveau 1
(50 à 59 %)
Avec beaucoup d’efficacité Avec efficacité Avec une certaine efficacité Avec une efficacité limitée

Critères de réussite :

  • Illustre une sélection pertinente et convenable des faits, compétences et procédures.
Niveau 4
(80 à 100 %)
Niveau 3
(70 à 79 %)
Niveau 2
(60 à 69 %)
Niveau 1
(50 à 59 %)
Avec beaucoup d’efficacité Avec efficacité Avec une certaine efficacité Avec une efficacité limitée
  • Démontre l’établissement de liens pertinents et convenables entre les concepts mathématiques et le monde qui existe hors de la salle de classe avec beaucoup d’efficacité.
  • Démontre l’établissement de liens pertinents et convenables entre les concepts mathématiques et le monde qui existe hors de la salle de classe avec efficacité.
  • Démontre l’établissement de liens pertinents et convenables entre les concepts mathématiques et le monde qui existe hors de la salle de classe avec une certaine efficacité.
  • Démontre l’établissement de liens pertinents et convenables entre les concepts mathématiques et le monde qui existe hors de la salle de classe avec une efficacité limitée.
Niveau 4
(80 à 100 %)
Niveau 3
(70 à 79 %)
Niveau 2
(60 à 69 %)
Niveau 1
(50 à 59 %)
Avec beaucoup d’efficacité Avec efficacité Avec une certaine efficacité Avec une efficacité limitée

Critères de réussite :

  • Utilise le vocabulaire, la notation et les symboles mathématiques avec beaucoup d’efficacité.
  • Utilise le vocabulaire, la notation et les symboles mathématiques avec efficacité.
  • Utilise le vocabulaire, la notation et les symboles mathématiques avec une certaine efficacité.
  • Utilise le vocabulaire, la notation et les symboles mathématiques avec une efficacité limitée.
Niveau 4
(80 à 100 %)
Niveau 3
(70 à 79 %)
Niveau 2
(60 à 69 %)
Niveau 1
(50 à 59 %)
Avec beaucoup d’efficacité Avec efficacité Avec une certaine efficacité Avec une efficacité limitée
  • Écrit les solutions algébriques et les tableaux, et trace les graphiques et diagrammes de façon claire et organisée.
Niveau 4
(80 à 100 %)
Niveau 3
(70 à 79 %)
Niveau 2
(60 à 69 %)
Niveau 1
(50 à 59 %)
Avec beaucoup d’efficacité Avec efficacité Avec une certaine efficacité Avec une efficacité limitée
  • Exprime une réflexion sur le raisonnement mathématique avec un degré supérieur de clarté.
  • Exprime une réflexion sur le raisonnement mathématique avec un degré important de clarté.
  • Exprime une réflexion sur le raisonnement mathématique avec un certain degré de clarté.
  • Exprime une réflexion sur le raisonnement mathématique avec un degré limité de clarté.
Niveau 4
(80 à 100 %)
Niveau 3
(70 à 79 %)
Niveau 2
(60 à 69 %)
Niveau 1
(50 à 59 %)
Avec beaucoup d’efficacité Avec efficacité Avec une certaine efficacité Avec une efficacité limitée

Figures semblables

Les figures semblables sont monnaie courante dans le monde qui nous entoure. Examine ces deux images d’un bateau.  Les deux images du haut ont la même forme, donc il s’agit de figures semblables. Nous découvrirons bientôt une définition plus précise.  L’image du haut est deux fois plus longue et deux fois plus haute que celle du bas. L’agrandissement d’une photo créera toujours une figure semblable à celle de la photo originale.

Image d’un bateau de pêche sur l’océan.
Image d’un bateau de pêche sur l’océan, faisant la moitié de la longueur et de la hauteur de la première image, et arborant une flèche (à l’avant) pointant vers la gauche.
Image d’un bateau de pêche sur l’océan, faisant la moitié de la longueur et de la hauteur de la première image, et arborant une flèche (à l’avant) pointant vers la droite.

Si l’on compare ces trois images, ce sont toutes des figures semblables, même si l’une est l’image inverse de l’autre.  Les figures semblables peuvent également être de la même taille; il n’est pas nécessaire que l’autre soit plus grande que l’autre.

Triangles semblables

Définition :

Les triangles semblables sont des triangles qui ont la même forme. Deux relations géométriques (entre les angles et entre les côtés) les rendent semblables. Tu trouveras ci-dessous deux triangles qui illustrent le concept de similitude entre les triangles. Souviens-toi que les angles et les côtés indiqués sur les diagrammes ne sont fournis qu’à titre d’explication. Il n’est pas nécessaire que les triangles affichent des angles de 30°, de 45  et de 105° pour être semblables, ou d’avoir des côtés de longueurs précises.

ΔABC, AB = 5, BC = 7,1 et AC = 9,7. Angle A = 45°, angle B = 105°et angle C = 30° Texte de remplacement : ΔGHI, GH = 10, HI = 14,2 et GI = 19,4. Angle G = 45°, angle H = 105° et angle I = 30°.

ΔABC ~ ΔGHI désigne la manière d’indiquer de façon mathématique que le ΔABC est semblable au ΔGHI. C’est ce qu’on appelle une relation de similitude.

Les triangles semblables présentent la même forme. Cela signifie que chaque angle d’un triangle a un angle égal correspondant dans le second triangle.

Paires d’angles égaux :

∠ A = ∠ G

∠ B = ∠ H

∠ C = ∠ I


Vous utiliserez souvent les rapports des côtés pour montrer que les triangles sont similaires, mais avant d'entrer dans le vif du sujet, il faut en savoir un peu plus sur les angles.

Si deux triangles ont deux paires d'angles égaux, alors le troisième dans chacun d'eux doit également être le même (puisque les trois angles s'additionnent toujours à 180°).

Donc, dès que vous voyez deux triangles avec deux paires d'angles égaux, alors les triangles doivent être similaires. Cette justification est souvent appelée Similarité Angle-Angle, ou simplement, AA. Vous pouvez utiliser l'acronyme AA pour expliquer pourquoi deux triangles sont similaires, en supposant que les triangles ont deux paires d'angles égaux.

Les rapports des côtés correspondants sont constants. Cela signifie que si nous divisons la longueur d'un côté d'un triangle par son côté correspondant dans l'autre triangle, ce rapport sera le même pour les trois paires de côtés.


Relations entre les côtés :

Dans ΔABC et ΔGHI

∆ABC et ∆GHI ∠A=∠G∠. Le côté en face de ∠A est BC. Le côté en face de ∠G est HI. Donc, on dit que BC correspond à HI. De la même manière, ∠B=∠H∠, donc AC correspond à GI et comme ∠C=∠I alors AB correspond à GH.

Examinons les ratios des côtés correspondants.

A B G H =   5 10 =   1 2

B C H I =   7.1 14.2   =   1 2

A C G I =   9.7 19.4 =   1 2

Puisque les trois ratios sont égaux ½ nous écrivons A B G H = B C H I = A C G I

Ce sont les ratios des côtés correspondants.

Par exemple, si G H = 2 × A B , le H I = 2 × B C et G I = 2 × A C

Peu importe le triangle dont les côtés se trouvent en haut ou en bas de ces rapports. Nous aurions pu écrire ce qui suit à la place : G H A B = H I B C = G I A C . Comme les grands côtés sont au numérateur, le rapport serait de 2 1 or G H A B =   H I B C =   G I A C   =   2 1

L'ordre dans lequel la déclaration de similitude est rédigée est important.

Similarity statement that ΔABC is similar to GHI.

Dans la déclaration de similarité ci-dessus, A et B sont les premier et second, tout comme G et H de sorte que A B corresponds à G H .

Dans la déclaration de similarité ci-dessus B et C sont premier et troisième, ainsi que H et I de sorte que B C corresponds à H I .

Dans la déclaration de similarité ci-dessus A et C asont premier et troisième, ainsi que G et I de sorte que A C corresponds à G I .

Relations entre les côtés :

A B G H =   B C H I =   A C G I

Ou

  G H A B =   H I B C =   G I A C

Explorez ces triangles similaires en changeant les longueurs et les angles des côtés (Opens in new window). Placez votre curseur sur C ou B dans le premier triangle. Les deux choses auxquelles vous devez prêter attention sont les angles correspondants et les rapports des côtés correspondants.

Vérifiez votre compréhension

Il s'agit d'une évaluation pour l'apprentissage (et non pour les notes) :

ΔDEF with DF = 6 cm, DE = 10 cm and FE = 12 cm. ΔABC with AC = 4 cm, AB = 5 cm and BC = 8 cm.

Utilisez le diagramme representant Δ B C D et Δ F M J , pour répondre aux questions suivantes.

ΔBCD with a star representing angle C, a cross-out symbol for angle D and an arc for angle B. ΔJFM with a star representing angle F, a cross-out symbol for angle M and an arc for angle J.

Tout au long du cours, vous devez faire un effort particulier pour utiliser la feuille de formule s'ouvrira dans une nouvelle fenêtrequi vous sera proposée lors de votre examen final.

Texte de remplacement manquant

Voici quelques exercices pratiques que tu peux essayer. La solution de chaque question est fournie.


Indique si les triangles des paires suivantes sont semblables et explique ton raisonnement. Les solutions sont fournies.

Les côtés du triangle du haut font 3 m, 2 m et 4,5 m. Ceux du triangle du bas font 4,5 m, 3 m et 6 m.

Indique si les triangles des paires suivantes sont semblables et explique ton raisonnement. Les solutions sont fournies.

Le triangle rectangle de gauche a un angle aigu de 20°. Le triangle de droite a un angle aigu de 70°.

Indique si les triangles des paires suivantes sont semblables et explique ton raisonnement. Les solutions sont fournies.

Le triangle de gauche a des angles de 32° et 40°. Le triangle de droite a des angles de 32° et 110°.

Indique si les triangles des paires suivantes sont semblables et explique ton raisonnement. Les solutions sont fournies.

Les côtés du triangle de gauche font 3,1 cm, 4,3 cm et 5,7 cm. Ceux du triangle de droite font 6,2 cm, 8,6 cm et 11,4 cm.

Regarde le diagramme suivant :

ΔABC, avec le point D sur le côté AB et le point E sur le côté AC, de telle sorte que DE est parallèle à BC.

Écris la relation de similitudes entre ces triangles.


Regarde le diagramme suivant :

ΔABC, avec le point D sur le côté AB et le point E sur le côté AC, de telle sorte que DE est parallèle à BC.

Dresse la liste des paires d’angles égaux pour ces triangles semblables.


Regarde le diagramme suivant :

ΔABC, avec le point D sur le côté AB et le point E sur le côté AC, de telle sorte que DE est parallèle à BC.

Indique les rapports des côtés de ces triangles semblables.


On te dit que ΔBCO ~ ΔMRP.

Dessine un diagramme (il y a plusieurs manières de le faire) qui présente cette relation de similitude.


Découvre si les triangles de la paire sont semblables ou dissemblables. Explique ton raisonnement.

Le ΔABC de gauche a les côtés suivants : AC = 1,5; AB = 2; BC = 3. Le ΔFGH de droite a les côtés suivants : FH = 1,8; FG = 4; GH = 6.

Découvre si les triangles de la paire sont semblables ou dissemblables. Explique ton raisonnement.

Le ΔDEF de gauche a les angles suivants : D = 85° et E = 37°. Le ΔMNO de droite a les angles suivants : O = 58° et N = 37°.

Dans la paire de triangles semblables suivante

le ΔBCD de gauche a un angle B désigné par un arc et un angle C indiqué par un soleil. Le ΔRWK de droite a un angle R désigné par un arc et un angle W indiqué par un soleil.

Indique la relation de similitude.


Pour cette paire de triangles semblables, donne les paires d’angles égaux.

le ΔBCD de gauche a un angle B désigné par un arc et un angle C indiqué par un soleil. Le ΔRWK de droite a un angle R désigné par un arc et un angle W indiqué par un soleil.

Pour cette paire de triangles semblables, donne les rapports entre les côtés.

le ΔBCD de gauche a un angle B désigné par un arc et un angle C indiqué par un soleil. Le ΔRWK de droite a un angle R désigné par un arc et un angle W indiqué par un soleil.

Pour cette paire de triangles semblables, indique la relation de similitude.

Dans le ΔABC, le point G est situé sur AC et le point F est situé sur AB, de manière à ce que FG soit parallèle à BC.

Pour cette paire de triangles semblables, donne les paires d’angles égaux.

Dans le ΔABC, le point G est situé sur AC et le point F est situé sur AB, de manière à ce que FG soit parallèle à BC.

Pour cette paire de triangles semblables, donne les rapports entre les côtés.

Dans le ΔABC, le point G est situé sur AC et le point F est situé sur AB, de manière à ce que FG soit parallèle à BC.

Conclusion

Texte de remplacement manquant

Félicitations ! Tu as maintenant terminé l’activité d’apprentissage 1. En ayant travaillé sur tous les exemples tu te sentiras probablement à l’aise pour :

  • écrire la relation de similitude entre deux triangles
  • établir si des triangles sont semblables ou non

Autovérification

Moment de réflexion ! Prends un moment pour réfléchir à cette activité d’apprentissage.

Quel niveau de confort ci-dessous reflète le mieux ton apprentissage ? Ne t’inquiète pas, tu peux maîtriser définitivement les concepts en repensant les exemples et en pratiquant davantage.

D’accord ou pas d’accord?
Critères de réussite Je sens que je maîtrise les concepts Je sens que je suis près de maîtriser les concepts Je sens que j’ai besoin d’exemples supplémentaires pour maîtriser les concepts Je sens que je suis loin de maîtriser les concepts
Écrire la relation de similitude entre deux triangles
Établir si des triangles sont semblables ou non

En tant qu’apprenante ou apprenant autonome, tu devras réfléchir à ton processus d’apprentissage et vérifier ta compréhension afin de pouvoir planifier ta réussite.

Demande-toi à quel point tu es confortable avec les critères de réussite indiqués ci-dessous. Est-ce que certains concepts sont encore flous? Si c’est le cas, prends un moment pour réviser les parties pertinentes de l’activité d’apprentissage, ou rends-toi en ligne pour faire d’autres recherches.

Texte de remplacement manquant

N’oublie pas qu’à la fin du cours, tu devras peaufiner huit rubriques de ton journal et les soumettre sous le titre suivant : « Évaluation finale – Journal des mathématiques ».

Vérifie les exigences sur les rubriques de journal pour t’assurer d’inclure tous les éléments importants de chaque tâche. Cette évaluation représente 15 % de ta note.

Tiens toujours compte des critères de réussite lorsque tu choisis un sujet pour une rubrique de journal. Pour cette activité d’apprentissage, tu pourrais expliquer par écrit comment établir si deux triangles sont semblables.


Prochaines étapes

Texte de remplacement manquant

Faisons le plein d’énergie ! Ensuite, dans l’activité d’apprentissage 2, nous acquerrons un important ensemble de compétences : la résolution de problèmes à l’aide de triangles semblables. Cela t’aidera à apprendre à utiliser des faits reliés aux triangles pour trouver des solutions aux problèmes.