
Bienvenue à l’activité Exploration des triangles semblables ! Non seulement la connaissance des triangles semblables constitue une aptitude mathématique essentielle, mais elle comporte aussi plusieurs applications pratiques. Dans la vie courante, ta connaissance des triangles semblables est mise à profit tous les jours lorsque tu analyses l’architecture d’une structure, les ponts ou la longueur des ombres, ou que tu établis l’angle adéquat selon lequel balancer une batte de baseball.
Plusieurs élèves essaient de maîtriser les mathématiques de niveau secondaire en s’efforçant de mémoriser encore et encore. Il y a bien sûr des choses que tu dois mémoriser, comme les tables de multiplication, mais tu auras plus de succès si tu réfléchis à tes apprentissages et que tu établis des liens entre les sujets. Commençons !
Utiliser un journal des mathématiques

Choisis n’importe quel journal, carnet ou autre livret que tu utiliseras comme journal des mathématiques, et qui t’aidera à réfléchir aux apprentissages que tu feras dans ce cours.
Tu constitueras ton journal des mathématiques tout au long du cours, qui est composé de quatre unités :
Les triangles semblables; la trigonométrie des angles droits et les mesures tridimensionnelles
Les relations et systèmes linéaires
L’algèbre des expressions quadratiques
Les relations quadratiques
Grille d’évaluation
Prends connaissance de la grille d’évaluation ci-dessous pour t’assurer de bien comprendre les lignes directrices de l’évaluation.
Critères de réussite :
- Démontre sa connaissance des procédures et compétences appropriées et pertinentes.
Niveau 4 (80 à 100 %) |
Niveau 3 (70 à 79 %) |
Niveau 2 (60 à 69 %) |
Niveau 1 (50 à 59 %) |
Avec beaucoup d’efficacité | Avec efficacité | Avec une certaine efficacité | Avec une efficacité limitée |
- Illustre sa compréhension du sens du contenu mathématique avec beaucoup d’efficacité.
- Illustre sa compréhension du sens du contenu mathématique avec efficacité.
- Illustre sa compréhension du sens du contenu mathématique avec une certaine efficacité.
- Illustre sa compréhension du sens du contenu mathématique avec une efficacité limitée.
Niveau 4 (80 à 100 %) |
Niveau 3 (70 à 79 %) |
Niveau 2 (60 à 69 %) |
Niveau 1 (50 à 59 %) |
Avec beaucoup d’efficacité. |
Avec efficacité |
Avec une certaine efficacité |
Avec une efficacité limitée |
Critères de réussite :
- Présente des preuves que le problème a été modélisé, que des conclusions ont été tirées ou que des raisonnements ont été utilisés pour justifier la démarche.
Niveau 4 (80 à 100 %) |
Niveau 3 (70 à 79 %) |
Niveau 2 (60 à 69 %) |
Niveau 1 (50 à 59 %) |
Avec beaucoup d’efficacité | Avec efficacité | Avec une certaine efficacité | Avec une efficacité limitée |
- Démontre une interprétation logique du problème avec beaucoup d’efficacité.
- Démontre une interprétation logique du problème avec efficacité.
- Démontre une interprétation logique du problème avec une certaine efficacité.
- Démontre une interprétation logique du problème avec une efficacité limitée.
Niveau 4 (80 à 100 %) |
Niveau 3 (70 à 79 %) |
Niveau 2 (60 à 69 %) |
Niveau 1 (50 à 59 %) |
Avec beaucoup d’efficacité | Avec efficacité | Avec une certaine efficacité | Avec une efficacité limitée |
Critères de réussite :
- Illustre une sélection pertinente et convenable des faits, compétences et procédures.
Niveau 4 (80 à 100 %) |
Niveau 3 (70 à 79 %) |
Niveau 2 (60 à 69 %) |
Niveau 1 (50 à 59 %) |
Avec beaucoup d’efficacité | Avec efficacité | Avec une certaine efficacité | Avec une efficacité limitée |
- Démontre l’établissement de liens pertinents et convenables entre les concepts mathématiques et le monde qui existe hors de la salle de classe avec beaucoup d’efficacité.
- Démontre l’établissement de liens pertinents et convenables entre les concepts mathématiques et le monde qui existe hors de la salle de classe avec efficacité.
- Démontre l’établissement de liens pertinents et convenables entre les concepts mathématiques et le monde qui existe hors de la salle de classe avec une certaine efficacité.
- Démontre l’établissement de liens pertinents et convenables entre les concepts mathématiques et le monde qui existe hors de la salle de classe avec une efficacité limitée.
Niveau 4 (80 à 100 %) |
Niveau 3 (70 à 79 %) |
Niveau 2 (60 à 69 %) |
Niveau 1 (50 à 59 %) |
Avec beaucoup d’efficacité | Avec efficacité | Avec une certaine efficacité | Avec une efficacité limitée |
Critères de réussite :
- Utilise le vocabulaire, la notation et les symboles mathématiques avec beaucoup d’efficacité.
- Utilise le vocabulaire, la notation et les symboles mathématiques avec efficacité.
- Utilise le vocabulaire, la notation et les symboles mathématiques avec une certaine efficacité.
- Utilise le vocabulaire, la notation et les symboles mathématiques avec une efficacité limitée.
Niveau 4 (80 à 100 %) |
Niveau 3 (70 à 79 %) |
Niveau 2 (60 à 69 %) |
Niveau 1 (50 à 59 %) |
Avec beaucoup d’efficacité | Avec efficacité | Avec une certaine efficacité | Avec une efficacité limitée |
- Écrit les solutions algébriques et les tableaux, et trace les graphiques et diagrammes de façon claire et organisée.
Niveau 4 (80 à 100 %) |
Niveau 3 (70 à 79 %) |
Niveau 2 (60 à 69 %) |
Niveau 1 (50 à 59 %) |
Avec beaucoup d’efficacité | Avec efficacité | Avec une certaine efficacité | Avec une efficacité limitée |
- Exprime une réflexion sur le raisonnement mathématique avec un degré supérieur de clarté.
- Exprime une réflexion sur le raisonnement mathématique avec un degré important de clarté.
- Exprime une réflexion sur le raisonnement mathématique avec un certain degré de clarté.
- Exprime une réflexion sur le raisonnement mathématique avec un degré limité de clarté.
Niveau 4 (80 à 100 %) |
Niveau 3 (70 à 79 %) |
Niveau 2 (60 à 69 %) |
Niveau 1 (50 à 59 %) |
Avec beaucoup d’efficacité | Avec efficacité | Avec une certaine efficacité | Avec une efficacité limitée |
Figures semblables
Les figures semblables sont monnaie courante dans le monde qui nous entoure. Examine ces deux images d’un bateau. Les deux images du haut ont la même forme, donc il s’agit de figures semblables. Nous découvrirons bientôt une définition plus précise. L’image du haut est deux fois plus longue et deux fois plus haute que celle du bas. L’agrandissement d’une photo créera toujours une figure semblable à celle de la photo originale.



Si l’on compare ces trois images, ce sont toutes des figures semblables, même si l’une est l’image inverse de l’autre. Les figures semblables peuvent également être de la même taille; il n’est pas nécessaire que l’autre soit plus grande que l’autre.
Triangles semblables
Définition :
Les triangles semblables sont des triangles qui ont la même forme. Deux relations géométriques (entre les angles et entre les côtés) les rendent semblables. Tu trouveras ci-dessous deux triangles qui illustrent le concept de similitude entre les triangles. Souviens-toi que les angles et les côtés indiqués sur les diagrammes ne sont fournis qu’à titre d’explication. Il n’est pas nécessaire que les triangles affichent des angles de 30°, de 45 et de 105° pour être semblables, ou d’avoir des côtés de longueurs précises.

ΔABC ~ ΔGHI désigne la manière d’indiquer de façon mathématique que le ΔABC est semblable au ΔGHI. C’est ce qu’on appelle une relation de similitude.
Les triangles semblables présentent la même forme. Cela signifie que chaque angle d’un triangle a un angle égal correspondant dans le second triangle.
Paires d’angles égaux :
∠ A = ∠ G
∠ B = ∠ H
∠ C = ∠ I
Vous utiliserez souvent les rapports des côtés pour montrer que les triangles sont similaires, mais avant d'entrer dans le vif du sujet, il faut en savoir un peu plus sur les angles.
Si deux triangles ont deux paires d'angles égaux, alors le troisième dans chacun d'eux doit également être le même (puisque les trois angles s'additionnent toujours à 180°).
Donc, dès que vous voyez deux triangles avec deux paires d'angles égaux, alors les triangles doivent être similaires. Cette justification est souvent appelée Similarité Angle-Angle, ou simplement, AA. Vous pouvez utiliser l'acronyme AA pour expliquer pourquoi deux triangles sont similaires, en supposant que les triangles ont deux paires d'angles égaux.
Les rapports des côtés correspondants sont constants. Cela signifie que si nous divisons la longueur d'un côté d'un triangle par son côté correspondant dans l'autre triangle, ce rapport sera le même pour les trois paires de côtés.
Relations entre les côtés :
Dans ΔABC et ΔGHI
∆ABC et ∆GHI ∠A=∠G∠. Le côté en face de ∠A est BC. Le côté en face de ∠G est HI. Donc, on dit que BC correspond à HI. De la même manière, ∠B=∠H∠, donc AC correspond à GI et comme ∠C=∠I alors AB correspond à GH.
Examinons les ratios des côtés correspondants.
Puisque les trois ratios sont égaux ½ nous écrivons = =
Ce sont les ratios des côtés correspondants.
Par exemple, si , le et
Peu importe le triangle dont les côtés se trouvent en haut ou en bas de ces rapports. Nous aurions pu écrire ce qui suit à la place : = = . Comme les grands côtés sont au numérateur, le rapport serait de or
L'ordre dans lequel la déclaration de similitude est rédigée est important.
Dans la déclaration de similarité ci-dessus, et sont les premier et second, tout comme et de sorte que corresponds à .
Dans la déclaration de similarité ci-dessus et sont premier et troisième, ainsi que et de sorte que corresponds à .
Dans la déclaration de similarité ci-dessus et asont premier et troisième, ainsi que et de sorte que corresponds à .
Relations entre les côtés :
Ou
Explorez ces triangles similaires en changeant les longueurs et les angles des côtés (Opens in new window). Placez votre curseur sur C ou B dans le premier triangle. Les deux choses auxquelles vous devez prêter attention sont les angles correspondants et les rapports des côtés correspondants.
Utilisez le diagramme representant et , pour répondre aux questions suivantes.
Tout au long du cours, vous devez faire un effort particulier pour utiliser la feuille de formule s'ouvrira dans une nouvelle fenêtrequi vous sera proposée lors de votre examen final.

Voici quelques exercices pratiques que tu peux essayer. La solution de chaque question est fournie.
Conclusion

Félicitations ! Tu as maintenant terminé l’activité d’apprentissage 1. En ayant travaillé sur tous les exemples tu te sentiras probablement à l’aise pour :
- écrire la relation de similitude entre deux triangles
- établir si des triangles sont semblables ou non
Autovérification
Moment de réflexion ! Prends un moment pour réfléchir à cette activité d’apprentissage.
Quel niveau de confort ci-dessous reflète le mieux ton apprentissage ? Ne t’inquiète pas, tu peux maîtriser définitivement les concepts en repensant les exemples et en pratiquant davantage.
En tant qu’apprenante ou apprenant autonome, tu devras réfléchir à ton processus d’apprentissage et vérifier ta compréhension afin de pouvoir planifier ta réussite.
Demande-toi à quel point tu es confortable avec les critères de réussite indiqués ci-dessous. Est-ce que certains concepts sont encore flous? Si c’est le cas, prends un moment pour réviser les parties pertinentes de l’activité d’apprentissage, ou rends-toi en ligne pour faire d’autres recherches.

N’oublie pas qu’à la fin du cours, tu devras peaufiner huit rubriques de ton journal et les soumettre sous le titre suivant : « Évaluation finale – Journal des mathématiques ».
Vérifie les exigences sur les rubriques de journal pour t’assurer d’inclure tous les éléments importants de chaque tâche. Cette évaluation représente 15 % de ta note.
Tiens toujours compte des critères de réussite lorsque tu choisis un sujet pour une rubrique de journal. Pour cette activité d’apprentissage, tu pourrais expliquer par écrit comment établir si deux triangles sont semblables.
Prochaines étapes

Faisons le plein d’énergie ! Ensuite, dans l’activité d’apprentissage 2, nous acquerrons un important ensemble de compétences : la résolution de problèmes à l’aide de triangles semblables. Cela t’aidera à apprendre à utiliser des faits reliés aux triangles pour trouver des solutions aux problèmes.