L’addition de vecteurs au moyen des composantes

Afin d’analyser et de résoudre les problèmes liés aux vecteurs, il faut souvent les additionner et les soustraire. Pour y parvenir, on doit obéir à la règle selon laquelle les vecteurs peuvent seulement être additionnés (ou soustraits) s'ils se trouvent sur le même axe.

Avant d’additionner ou de soustraire des vecteurs, tu dois être capable de les résoudre en leurs composantes. Dans cette section, tu verras ce que sont les composantes des vecteurs et comment les résoudre.

On peut considérer un vecteur qui ne se trouve pas directement le long d'un axe horizontal ou vertical comme étant composé de deux parties, appelées composantes.

Exemples de vecteurs non horizontaux et non verticaux résolus en leurs composantes x et y.

Dans les deux images ci-dessus, on peut voir un vecteur dont la grandeur est de L.

Ce vecteur est formé d’une section horizontale – la composante x et d’une section verticale – la composante y. Quand on relie la tête d’un de ces deux vecteurs à la queue de l’autre, ils forment un angle de 90°.

De plus, si l'on trace un vecteur résultant entre la queue de la première et la tête de la seconde de ces deux composantes, ça forme un triangle rectangle complet. Comme un vecteur et ses deux composantes forment un triangle rectangle, on peut employer les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus et tangente) pour résoudre mathématiquement ce vecteur en ses composantes.

Voici un bref rappel des fonctions trigonométriques qui permettent de résoudre mathématiquement un vecteur en ses composantes.

Exemples de vecteurs non horizontaux et non verticaux résolus en leurs composantes x et y.

Remarque : ce rappel concerne spécifiquement le triangle rectangle sur la gauche qui contient l'angle θ.

sin θ =  opposé   hypoténuse  = L x L

cos θ = adjacent hypoténuse = L y L

tan θ = opposé adjacent = L x L y

Quand θ est l'angle du vecteur dont la valeur est connue, le côté opposé est celui qui fait face à l'angle connu, et le côté adjacent est celui qui contribue à former cet angle.

Exemple 1

Résous un vecteur de vélocité de 25 m/s [E 45° N] en ses composantes.

Éléments connus :

v = 25 m/s [E 45° N]

Inconnue :

v x = ?

v y = ?

Analyse :

Étape 1 : Dessine un diagramme vectoriel indiquant la direction des composantes x et y.

Étape 2 : Applique la formule trigonométrique adéquate pour résoudre chaque composante.

Solution :

Étape 1 :

Un diagramme vectoriel aux directions identifiées sur un axe nord-est. Le vecteur a une grandeur de 25 m/s et une direction de 45° au nord de l'est.

Étape 2 :

Pour la composante x, sers-toi de la fonction cosinusoïdale.

cos θ = v x v

Réarrangement et substitution :

v x = v cos

v x = 25 m / s cos 4 5

v x = 17,7 m / s (chiffre significatif supplémentaire)

v x = 18 m / s

Pour la composante y, sers-toi de la fonction sinus :

sin θ = v y v

Réarrangement et substitution :

v y = v sin

v y = 25 m / s sin 4 5

v y = 17,7 m / s (chiffre significatif supplémentaire)

v y = 18 m / s

Résumé :

Par conséquent, la composante x, v x de ce vecteur est de 18 m/s [E] et la composante y, v y de ce vecteur est de 18 m/s [N].

Exemple 2

Résous un vecteur de vélocité de 4,0 m/s [O] en ses composantes.

Éléments connus :

v x = 4,0 m/s [O]

Inconnue :

v x = ?

v y = ?

Analyse :

Étape 1 : Dessine un diagramme vectoriel indiquant la direction des composantes x et y.

Étape 2 : Comme le vecteur suit la ligne horizontale est-ouest, il n'y a pas de composante verticale. Le vecteur comprend uniquement une composante horizontale.

Solution :

Étape 1 :

Diagramme vectoriel aux directions identifiées sur un axe nord-est. Le vecteur a une grandeur de 4 m/s et il pointe vers l'ouest le long de l'axe horizontal.

Étape 2 :

Le vecteur comprend uniquement une composante x, v x = 4,0 m/s [O]. Il n’y a pas de composante y.

Résumé :

Donc, la composante x, v x de ce vecteur est de 4,0 m/s [O] et la composante y, v y de ce vecteur est de 0 m/s [N].