Introduction à l’évaluation de clôture – Journal des mathématiques

Sujet 1 – Fonctions polynomiales

Voici des exemples de deux types de fonctions polynomiales que tu connais :

Affine :$f\left(x\right)=x+3$
Quadratique :$f\left(x\right)= x^2+4x+3$

Peux-tu déceler la régularité? Essaie de penser à un autre type de fonction polynomiale. Par exemple :

Cubique :$f\left(x\right)= x^3+{5x}^3+x-7$
Quartique :$f\left(x\right)= x^4-{3x}^3+x^2-5$

Les éléments d’une fonction polynomiale

Une fonction polynomiale a la forme

$f\left(x\right)= a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+...+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

Il peut être utile de rechercher sur YouTube des tutoriels expliquant les « éléments d’une fonction polynomiale ».

Passons en revue un exemple des différents éléments d’une équation polynomiale. Compare ensuite tes solutions aux réponses suggérées.

Nous allons utiliser la fonction polynomiale$f\left(x\right)= {4x}^5-{7x}^4+{2x}^3-{6x}^2+10x+15$, pour déterminer les éléments suivants :

Types des fonctions :

Fonction rationnelle :

$y= \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$

Créée lorsqu’une fonction polynomiale, $f\left(x\right)$, est divisée par une autre, $g\left(x\right)$

Remarque : La fonction polynomiale du dénominateur ne peut pas être $g\left(x\right)=1$

Pense à un exemple de fonction rationnelle et note-le dans ton carnet. Compare tes idées aux solutions suggérées.

Fonction de racine carrée :

$y= \sqrt{f\left(x\right)}$

Créée en prenant la racine carrée d’une fonction polynomiale,$f\left(x\right)$

Pense à un exemple de fonction de racine carrée et note-le dans ton carnet. Compare tes idées aux solutions suggérées.

Exemples :

Passons en revue quelques exemples d’identification des fonctions polynomiales en remplissant le tableau suivant. Tu trouveras un exemple inclus dans le tableau à titre de référence. Compare ensuite tes solutions aux réponses suggérées.

Identifie le degré et le coefficient dominant des fonctions polynomiales.

Voyons maintenant si tu es capable d’associer chaque fonction incluse à gauche à sa classification correcte à droite.

Sujet 2 – fonctions de puissance

Fonction de puissance :

Une fonction de puissance est la forme la plus simple d’une fonction polynomiale :

$f\left(x\right)= {ax}^n$

$a:$ un nombre réel

$x:$ une variable

$n:$ un entier naturel

Le nom de certaines fonctions de puissance dépend de leur degré. Passe en revue chacune des fonctions de puissance suivantes, en identifiant le degré et le type de la fonction de puissance. Compare tes idées aux solutions suggérées.

1 : Identifie le degré et le type de la fonction de puissance $y=a$.

2 : Identifie le degré et le type de la fonction de puissance $y=ax$.

3 : Identifie le degré et le type de la fonction de puissance $y={ax}^2$.

4 : Identifie le degré et le type de la fonction de puissance $y={ax}^3.$

5 : Identifie le degré et le type de la fonction de puissance $y={ax}^4$.

Propriétés d’une fonction

Le comportement aux extrémités d’une fonction nous indique comment les valeurs de y changent aux deux extrémités horizontales du graphique ou les valeurs de$x$deviennent très grandes ou très petites :

• $\mathrm{les\; valeurs\; de} x$ augmentent dans la direction négative
• $\mathrm{les\; valeurs\; de} x$ augmentent dans la direction positive

Ensuite, tu auras l’occasion de les examiner plus en détail.

Exemple : Grande(s) valeur(s) négative(s) et positive(s) de $x$

Pour chaque exemple inclus dans les « Exercices sur les grandes valeurs négatives et positives de x » (s’ouvre dans une nouvelle fenêtre), identifie le comportement aux extrémités de chaque fonction. Compare ensuite tes réponses aux solutions suggérées suivantes.

Réponses suggérées pour une grande valeur négative de $x$ Exercice pratique

Une fois que tu as identifié le comportement aux extrémités pour chaque exemple inclus dans les « Exercices sur les $\mathrm{grandes\; valeurs}$ négatives et positives de x », utilise les onglets ci-dessous pour vérifier tes réponses pour une grande valeur négative de $x$. Nous examinerons les réponses suggérées pour une grande valeur positive de $x$ immédiatement après.

Maintenant, examine les réponses suggérées pour une grande valeur positive de $x$ immédiatement.

Le domaine d’une fonction nous indique pour quelles valeurs $\mathrm{de}x$ la fonction est possible.

• Par exemple, dans la fonction $y=\sqrt{x}$, seules les valeurs positives de $x$ et 0 sont possibles, donc le domaine sera
  • $\left\{x \in R|x\ge 0\right\}$, ‘$x$ appartient à l’ensemble des nombres réels, $R$, de telle sorte que, |, $x$ est supérieur ou égal à, $\ge$, 0’

L’image d’une fonction nous indique pour quelles valeurs de$y$la fonction est possible

• Par exemple, la fonction $y= x^2-2$, est une parabole orientée vers le haut avec un sommet (0;-2); donc seulement $\mathrm{les}$ valeurs y supérieures ou égales à $-2$ sont possibles pour cette fonction

• $\left\{y \in R|y\ge -2\right\}$, ‘ $y$ appartient à l’ensemble des nombres réels, $R$, de telle sorte que, |, $y$ est supérieur ou égal à, $\ge$, -2’

Exemples :

Passons en revue quelques exemples d’identification du domaine et de l’image. Compare ensuite tes solutions aux réponses suggérées.

Voici un autre exemple à essayer, puis à passer en revue.

Exemple 3 :

Magnifique travail! Voici encore un exemple à essayer.

Les $\mathrm{abscisses}$ à l’origine d’une fonction sont les points où la fonction traverse $\mathrm{l’axe}$ des x ou quand $y=0$

Par exemple, cette fonction a $\mathrm{des}$ abscisses à l’origine à $(-\mathrm{1;0})$ et $\left(\mathrm{4;0}\right)$

L’ordonnée $à$ l’origine d’une fonction est le point où la fonction croise $\mathrm{l’axe}$ des y ou quand $x=0$

Par exemple, cette fonction a l’ordonnée à l’origine à $\left(\mathrm{0;2}\right)$

Exemples :

Passons en revue un autre exemple d’identification des abscisses et des ordonnées à l’origine. Appuie sur chaque onglet pour en apprendre davantage.

Allons, on essaie. Des réponses sont suggérées pour que tu puisses vérifier ton travail.

Exercice pratique sur le domaine, l’image et les comportements aux extrémités

À l’aide du logiciel Geogebra ou d’un autre outil graphique gratuit en ligne, étudie comment le domaine et le comportement aux extrémités changent selon que le coefficient dominant est positif ou négatif. Utilise ensuite les « Réponses suggérées pour le domaine, l’image et les comportements aux extrémités » (s’ouvre dans une nouvelle fenêtre) pour vérifier tes idées.

Passe en revue les critères de réussite :

Évalue ta compréhension sur une échelle de 1 à 5, où 1 = « Je n’arrive pas à comprendre » et 5 = « Ma compréhension est excellente ».

Si tu as noté ta compréhension au-dessous de 3, prends le temps de réfléchir à la façon dont tu travailleras pour améliorer ta note là où il le faut.

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